Российский математик решил 190‑летнюю задачу

Российский математик совершил прорыв: найдена формула для «неразрешимых» уравнений

Старший научный сотрудник НИУ ВШЭ и Института проблем передачи информации РАН Иван Ремизов предложил универсальное решение для дифференциальных уравнений второго порядка — задач, которые более 190 лет считались не поддающимися аналитическому решению. Об этом сообщила пресс‑служба университета.

В чём сложность задачи

Дифференциальные уравнения второго порядка широко применяются в физике и экономике: они моделируют динамические процессы — от движения планет до колебаний маятника. В 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль доказал, что такие уравнения невозможно решить стандартными методами. Иными словами, нельзя выразить их решения через коэффициенты, базовые операции и элементарные функции — так, как это делается, например, при решении квадратных уравнений через дискриминант. Причина кроется в природе самих уравнений: они описывают системы с величинами, которые непрерывно и самостоятельно изменяются.

Как было раньше

После работы Лиувилля на протяжении почти двух столетий учёные практически не продвинулись в поиске аналитических решений для этих уравнений. Исследователи вынуждены были прибегать к численным методам и приближённым расчётам, которые не давали точного общего решения.

Суть открытия

Иван Ремизов разработал метод, позволяющий найти точное аналитическое решение. Ключевое новшество — расширение стандартного набора математических операций за счёт нахождения предела последовательности. В основе подхода лежит теория аппроксимаций Чернова.

Учёный предлагает представлять поиск решения как «киносъёмку» процесса: вместо попытки сразу получить готовый ответ метод разбивает задачу на бесконечное число элементарных шагов. На каждом шаге точно описывается поведение системы в конкретной точке. Чем больше шагов учитывается (при стремлении их числа к бесконечности), тем точнее выстраивается итоговый график.

На заключительном этапе к полученным шагам применяется преобразование Лапласа. Оно трансформирует сложные дифференциальные уравнения в обычные алгебраические задачи, которые уже можно решить известными методами.

Значение открытия

Найденная формула открывает новые возможности для точных расчётов в физике, инженерии и экономике. Теперь исследователи получат инструмент для аналитического решения задач, которые прежде требовали трудоёмких численных методов или давали лишь приближённые результаты.